Сколько существует целых чисел от 1 до 3000, которые не делятся ни на 2, ни на 3, но делятся на 5?
Здесь полезен приём "убери лишнее". Важно проверить, что лишнее убрали ровно 1 раз.
Из 100 ребят, отправляющихся в многопредметную школу, занимаются математикой 30 ребят, физикой — 28, химией — 42. Математикой и физикой занимаются 8 ребят, математикой и химией — 10, физикой и химией — 5, а всеми тремя предметами — 3. Ребята, которые не занимаются ни математикой, ни физикой, ни химией, являются биологами. Сколько биологов приехало в многопредметную школу?
В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 - черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 - яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фрукты вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
В классе каждый ученик занимается спортом, музыкой или языками. Спортом занимается 15 детей, музыкой - 13, языками - 12 детей. Семеро занимаются спортом и музыкой, шестеро - спортом и языками, пятеро - музыкой и языками. А какое наибольшее количество человек могло быть в классе?
В первом решении, обозначив через неизвестное одно из подмножеств на схеме, удалось выразить количество детей в каждом из остальных подмножеств. Такой исследовательский подход помогает выразить все зависимости через одну переменную.
В этой задаче можно обойтись и без переменных, что удаётся не всегда. На примере этой задачи можно познакомить детей с идей формулы "включений-исключений".
Оценка.
Оценим возможно количество детей к классе. Если сложить количество спортменов, музыкантов и тех, кто изучает языки, то получим $15+13+12=40$ детей, но некоторые из них посчитаны более одного раза. А именно 7, которые занимаются спортом и музыкой, 6 - спортом и языками, 5 - музыкой и языками. Итак, $40-(7+6+5)=22$ ребенка, почти все из которых посчитаны по одном разу.
Но сколько раз мы посчитали тех, кто занимается и спортом, и музыкой, и языками?
Сначала таких ребят мы включили трижды, а затем их исключили. Значит, их нужно снова включить. Итак, чем больше таких детей, тем больше и учащихся в классе. Но какое наибольшее количество детей могут такими активными?
На самом деле их не более 5, так как именно столько занимаются музыкой и языками. Если все эти ещё и спортсмены, то как раз получается 5 активистов.
Значит, в классе не более 27 детей.
Пример. Причём их может быть 27, если все три кружка посещают 5 детей.
Развитие задачи
Какое наименьшее количество учеников может быть в классе?
На полу размером 3 × 4 м лежат три ковра. Площадь одного ковра 5 кв. м, другого - 4 кв. м, третьего - 3 кв. м. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5 кв. м. Все три ковра перекрываются на площади 0,5 кв. м. Найдите площадь не покрытой части пола. В ответе укажите число, выразив площадь в кв. м.