В одном из классов интересной спортшколы учатся 30 ребят. Из них хоккеем занимаются 8, фигурным катанием – 9, 8 – конькобежным спортом (из которых двое – только им). Ровно один ученик ходит на тренировки и по фигурному катанию, и по хоккею одновременно, но он не любит конькобежный спорт. Пятеро – одновременно на фигурном катании и конькобежном спорте. Все остальные всё время уделяют ходьбе. Сколько существует вариантов отправить на соревнования команду из спортсмена, который занимается хотя бы двумя видами спорта, и любителя ходьбы?
В классе каждый ученик занимается спортом, музыкой или языками. Спортом занимается 15 детей, музыкой - 13, языками - 12 детей. Семеро занимаются спортом и музыкой, шестеро - спортом и языками, пятеро - музыкой и языками. Какое наименьшее количество человек могло быть в классе?
В этой задаче можно обойтись и без переменных, что удаётся не всегда. На примере этой задачи можно познакомить детей с идей формулы "включений-исключений".
Оценка.
Оценим возможно количество детей к классе. Если сложить количество спортменов, музыкантов и тех, кто изучает языки, то получим $15+13+12=40$ детей, но некоторые из них посчитаны более одного раза. А именно 7, которые занимаются спортом и музыкой, 6 - спортом и языками, 5 - музыкой и языками. Итак, $40-(7+6+5)=22$ ребенка, почти все из которых посчитаны по одном разу.
Но сколько раз мы посчитали тех, кто занимается и спортом, и музыкой, и языками?
Сначала таких ребят мы включили трижды, а затем их исключили. Значит, их нужно снова включить. Итак, чем меньше таких детей, тем меньше и учащихся в классе.
Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?
Сколько существует чисел от 1 до 60, которые не делятся ни на 2, ни на 3?
Важно рассмотреть разные способы решения этой задачи.
Повыделять разные подмножиста чисел.
Сколько делящихся на 2, сколько не делящихся на 2?
Сколько делящихся на 3, сколько не делящихся на 3?
Сколько делящихся на 2 и 3 одновременно?
Как устроены тройки последовательных чисел.
Художник Казимиров за месяц работы написал 42 картины. На 29 из них есть река, на 17 – лес, а на 13 – и то, и другое; на остальных картинах – не пойми что. Сколько картин изображают не пойми что?
Решение 1
На 17 картинах есть лес. На 29-13=16 картинах есть река, но нет леса. Значит, лес или река есть на 17+16=33 картинах. На оставшихся 42-33=9 картинах - не пойми что.
Решение 2
На 17 картинах есть лес. На 29 картинах есть река. На 13 картин учли дважды. Значит, лес или река есть на 17+29-13 = 33 картинах. На оставшихся 42-33=9 картинах - не пойми что.