Какое наименьшее количество отрезков придется дорисовать (см. рис.), чтобы полученную фигуру можно было нарисовать одним росчерком?
Пятиугольная звезда имеет 5 точек самопересечения. А какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая 7-звенная ломаная?
При работе с данной задачей важно обратить внимание, что каждая пара линий может пересекаться в одной точке.
Надо обсудить идею подсчета возможных пересечений: для n звеньев максимальное количество пересечений можно оценить как (n(n-3))/2.
Для этого полезно поэкспериментировать и проедположить, какая закономерность количества точек пересечения от количества звеньев ломаной.
Частный случай для 7-звенной ломаной: (7(7-3))/2 = (7 × 4)/2 = 14.
На плоскости нарисовали точку и k кругов, не содержащих точку. Оказалось, что любая прямая, проходящая через точку, пересекает хотя бы один из этих k кругов. При каком наименьшем k такое возможно?
Петя нарисовал сетку 3x4 (см. рис.) не проходя по линиям дважды. При этом он оторвал карандаш от бумаги k раз.
При каком наименьшем k это возможно?
Каким наименьшим количеством прямых можно перечеркнуть все клетки клетчатого квадрата 3x3? (Клетка считается перечеркнутой, если прямая делит ее на два многоугольника.)
Полезно обсудить следующие идеи:
Первая идея: можно ли провести прямую, которая будет пересекать все 4 угловых квадрата (в частности, в квадрате 3Х3).Нет, если провести прямую через центральную клетку (более точно – точку пересечения диагоналей) квадрата.
Вывод – прямых больше одной.
Вторая идея: определить, какое максимальное количество клеток квадрата 3х3 может пересечь прямая.
Третья идея: если одной прямой можно пересечь 5 клеток, то двух прямых должно хватить, если расположить их перпендикулярно друг другу с точкой пересечения в центральной клетке квадрата (в квадрате 9 клеток). Здесь можно использовать идею поворотной симметрии.
Четвертая идея (не является обязательной): сделать рисунок для наглядности.