Заполните пропуски в решении задачи.

В левом верхнем углу клетчатого прямоугольника $5\times 10$ (пять строк, 10 столбцов) стоит хромая ладья. За один ход эта ладья может перейти на соседнюю клетку вниз или вправо. Сколькими способами она может добраться до правого нижнего угла?

Каждый способ попасть в правый нижний угол - это строчка из __ символов, каждый из которых является стрелочкой вправо или вниз (это просто последовательность команд, выданных хромой ладье). Нам нужно выбрать, на каких позициях должны идти стрелочки вниз, а всего их __. Количество способов сделать такой выбор равно $C_{13}^4$. Это и есть ответ к данной задаче.

Заполните пропуски в рассуждении.

Напишем единицу (это будет нулевая строчка). Под ней напишем две единицы (первая строчка). Под ними вторую строчку: 1, 2, 1. Каждую новую строчку будем писать по следующему принципу: крайние числа равны единице, а каждое из остальных чисел равно сумме двух соседних сверху чисел. Получится таблица, как на рисунке. Эта таблица называется треугольником Паскаля.

Докажем, что в $n$-й строке (напомним, что строки нумеруются, начиная с нуля) на $k$-м месте (давайте также места начнём нумеровать с нуля, так удобнее) стоит число $C_n^k$. Проведём стрелочки от каждого числа к обоим соседям снизу. Решим двумя способами задачу "Сколькими способами, двигаясь по стрелочкам, можно попасть из самой верхней клетки в данную?"

1 способ. В $k$-е число $n$-й строки (если $k\ne 0$ и $k\ne n$) можно попасть из __ или из __ числа __ строки. Значит, нужно сосчитать колиество способов добраться до этих чисел и сложить эти количества. Получается в точности алгоритм построения треугольника Паскаля. В нулевое и последнее число каждой строки есть ровно один способ попасть.

2 способ. Всего есть __ ходов по стрелочкам. Из них  __ ходов должны быть сделаны влево-вниз, а остальные __ ходов - вправо-вниз. Наша задача - выбрать, какие именно ходы должны быть сделаны вправо-вниз. Количество таких способов равно $C_n^k$. Это и есть ответ к нашей задаче.

Итак, мы доказали, что числа, построенные в треугольнике Паскаля, совпадают с биномиальными коэффициентами.

Какое число стоит в десятой строке треугольника Паскаля на третьем месте? Напомним, что строки и места в строках в треугольнике Паскаля нумеруются, начиная с нуля (т.е. имеется в виду четвёртое по счёту число).

Найдите сумму чисел в десятой строке треугольника Паскаля. (Напомним, что строки треугольника Паскаля нумеруются, начиная с нулевой.)

Сколько чисел, не делящихся на 31, находится в 31-й строчке треугольника Паскаля? (Напомним, что строчки треугольника Паскаля нумеруются, начиная с нулевой.)