Заполните пропуски в рассуждении.

Напишем единицу (это будет нулевая строчка). Под ней напишем две единицы (первая строчка). Под ними вторую строчку: 1, 2, 1. Каждую новую строчку будем писать по следующему принципу: крайние числа равны единице, а каждое из остальных чисел равно сумме двух соседних сверху чисел. Получится таблица, как на рисунке. Эта таблица называется треугольником Паскаля.

Докажем, что в $n$-й строке (напомним, что строки нумеруются, начиная с нуля) на $k$-м месте (давайте также места начнём нумеровать с нуля, так удобнее) стоит число $C_n^k$. Проведём стрелочки от каждого числа к обоим соседям снизу. Решим двумя способами задачу "Сколькими способами, двигаясь по стрелочкам, можно попасть из самой верхней клетки в данную?"

1 способ. В $k$-е число $n$-й строки (если $k\ne 0$ и $k\ne n$) можно попасть из __ или из __ числа __ строки. Значит, нужно сосчитать колиество способов добраться до этих чисел и сложить эти количества. Получается в точности алгоритм построения треугольника Паскаля. В нулевое и последнее число каждой строки есть ровно один способ попасть.

2 способ. Всего есть __ ходов по стрелочкам. Из них  __ ходов должны быть сделаны влево-вниз, а остальные __ ходов - вправо-вниз. Наша задача - выбрать, какие именно ходы должны быть сделаны вправо-вниз. Количество таких способов равно $C_n^k$. Это и есть ответ к нашей задаче.

Итак, мы доказали, что числа, построенные в треугольнике Паскаля, совпадают с биномиальными коэффициентами.