В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 - черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 - яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фрукты вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
В классе каждый ученик занимается спортом, музыкой или языками. Спортом занимается 15 детей, музыкой - 13, языками - 12 детей. Семеро занимаются спортом и музыкой, шестеро - спортом и языками, пятеро - музыкой и языками. А какое наибольшее количество человек могло быть в классе?
В первом решении, обозначив через неизвестное одно из подмножеств на схеме, удалось выразить количество детей в каждом из остальных подмножеств. Такой исследовательский подход помогает выразить все зависимости через одну переменную.
В этой задаче можно обойтись и без переменных, что удаётся не всегда. На примере этой задачи можно познакомить детей с идей формулы "включений-исключений".
Оценка.
Оценим возможно количество детей к классе. Если сложить количество спортменов, музыкантов и тех, кто изучает языки, то получим $15+13+12=40$ детей, но некоторые из них посчитаны более одного раза. А именно 7, которые занимаются спортом и музыкой, 6 - спортом и языками, 5 - музыкой и языками. Итак, $40-(7+6+5)=22$ ребенка, почти все из которых посчитаны по одном разу.
Но сколько раз мы посчитали тех, кто занимается и спортом, и музыкой, и языками?
Сначала таких ребят мы включили трижды, а затем их исключили. Значит, их нужно снова включить. Итак, чем больше таких детей, тем больше и учащихся в классе. Но какое наибольшее количество детей могут такими активными?
На самом деле их не более 5, так как именно столько занимаются музыкой и языками. Если все эти ещё и спортсмены, то как раз получается 5 активистов.
Значит, в классе не более 27 детей.
Пример. Причём их может быть 27, если все три кружка посещают 5 детей.
Развитие задачи
Какое наименьшее количество учеников может быть в классе?
На полу размером 3 × 4 м лежат три ковра. Площадь одного ковра 5 кв. м, другого - 4 кв. м, третьего - 3 кв. м. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5 кв. м. Все три ковра перекрываются на площади 0,5 кв. м. Найдите площадь не покрытой части пола. В ответе укажите число, выразив площадь в кв. м.
Найдите неизвестное значение *$x$* из равенства
*$998 + 17 \cdot ( 171 - 1862 : x ) = 2239$*.
Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?
Ответ:
У Пети было __ фантиков,
у Вани было __ фантиков,
у Толи было __ фантиков.
Основная идея – идем с конца.
Второе соображение – определить порядок действий