По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки.
По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки.
*Решение.*
__ противное.
Построим __ утверждения задачи: "любой мальчик сидит напротив мальчика."
Следовательно любая девочка сидит напротив __.
Таким образом, мальчики разбились на пары сидящих напротив друг друга. Пусть $k$ --- количество пар мальчиков.
Тогда общее число __ $2k=15$. Что невозможно.
Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше исходное предположение ложно, а следовательно то, что нужно было доказать в задаче верно.
Схема рассуждений в задачах на доказательство методом от противного
1) Сформулировать отрицание утверждения.
2) Провести рассуждение в сделанных предположениях.
3) Найти противоречие с условием задачи
4) Понять, что предположеение ложно
5) Сделать вывод!
Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?
Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ (5 строк, 6 столбцов) расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?
*Ответ:*__. Предположим противное.
*Решение.*
Посчитаем сумму чисел в __ двумя способами: по строкам и по столбцам.
Первым способом (по строкам) получим, что эта сумма равна __.
Вторым --- __.
Но у нас должно получиться одно и то же число.
Мы пришли к __. Значит наше исходное предположение ложно.
Важная идея в задачах на доказательство и построение невозможности ситуации изучить, в данном случае посчитать одно и то же разными методами.
К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.
К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.
*Решение.*
Предположим __ .
Вспомнив, как строить сложные отрицания, построим __ к утверждению задачи: "Среди шариков нет ни 8 одноцветных, ни 8 __."
Таким образом различных цветов не более __ и шариков каждого конкретного цвета не более __.
То есть, суммарно не более $7\cdot 7=49$ шариков. Мы пришли к противоречию с тем, что нам дано, что шариков 50. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.
В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?
В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?
*Ответ:*__.
*Решение.*
Предположим противное.
Тогда при такой расстановке имеются __ различных сумм:
четыре по строкам, __ по столбцам и две по диагоналям.
Эти суммы могут принимать целые значения от $-4$ до __.
Если они все различные, то их не может быть больше 9. Противоречие.
Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Предположим противное: сумма всех чисел равна __.
Так как произведение целых чисел равно 1, то каждое из них равно либо 1, либо __.
Пусть $k$ из них равны __ , а $50-k$ равны $-1$.
Тогда сумма всех чисел равна $k-(50-k)=0$. То есть, $k=25$.
Но тогда __ всех чисел равно $(-1)^{25}=-1$. Что противоречит условию задачи.
Схема рассуждений в задачах на доказательство методом от противного
1) Сформулировать отрицание утверждения.
2) Провести рассуждение в сделанных предположениях.
3) Найти противоречие с условием задачи
4) Понять, что предположеение ложно
5) Сделать вывод!