Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Предположим противное: сумма всех чисел равна __.
Так как произведение целых чисел равно 1, то каждое из них равно либо 1, либо __.
Пусть $k$ из них равны __ , а $50-k$ равны $-1$.
Тогда сумма всех чисел равна $k-(50-k)=0$. То есть, $k=25$.
Но тогда __ всех чисел равно $(-1)^{25}=-1$. Что противоречит условию задачи.
Схема рассуждений в задачах на доказательство методом от противного
1) Сформулировать отрицание утверждения.
2) Провести рассуждение в сделанных предположениях.
3) Найти противоречие с условием задачи
4) Понять, что предположеение ложно
5) Сделать вывод!
Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик?
Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик?
Ответ: __.
Решение.
Предположим противное.
Разложим кучки в порядке возрастания количества шаров в них.
В самой маленькой кучке лежит не менее __ шара.
В следующей --- не менее __ шаров.
В следующей --- не менее __.
В четвертой --- не менее __.
В пятой --- не менее __ шаров.
Таким образом в сумме должно быть не __ $1+2+3+4+5=15$ шаров. Мы пришли к противоречию с тем, что шаров всего 14.
Важная мысль
Упорядочить кучи по количеству шариков.
При этом важно помнить о неравенстве.
В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?
В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?
*Ответ:*__.
*Решение.*
Предположим противное.
Тогда при такой расстановке имеются __ различных сумм:
четыре по строкам, __ по столбцам и две по диагоналям.
Эти суммы могут принимать целые значения от $-4$ до __.
Если они все различные, то их не может быть больше 9. Противоречие.
Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.
Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.
*Решение.*
Предположим __.
Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до __.
Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми __-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми __-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга.
Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.
Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к __.
Количество различных вариантов совпадает с числом учащихся. Нужны дополнительные рассуждения, о возможности наступления конретных вариантов одновременно.
К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.
К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.
*Решение.*
Предположим __ .
Вспомнив, как строить сложные отрицания, построим __ к утверждению задачи: "Среди шариков нет ни 8 одноцветных, ни 8 __."
Таким образом различных цветов не более __ и шариков каждого конкретного цвета не более __.
То есть, суммарно не более $7\cdot 7=49$ шариков. Мы пришли к противоречию с тем, что нам дано, что шариков 50. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.