В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.
В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.
*Решение.*
Предположим __ и то, что нужно __ не верно.
Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более __ учеников 7"В".
То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это __ условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.
Нужно обратить внимание детей на корректное построение отрицаний в неравенствах.
Не более, не менее. Рассуждение в стиле "ровно распределим по 4 ученика в каждый день недели" нужно избегать
Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок.
Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.
Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок. Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.
*Решение.*
Предположим __ и то, что нужно доказать не верно.
Не умаляя общности, можно предположить, что первый попавшийся Кириллу кроссовок правый. Тогда среди 11 вытащенных из мешка кроссовок нет __.
То есть, все 11 кроссовок __. Мы пришли к противоречию с тем, что Вова сложил в мешок лишь 10 правых кроссовков. Значит наше исходное предположение ложно, а то, что нужно было доказать в задаче выполнено.
Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?
Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ (5 строк, 6 столбцов) расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?
*Ответ:*__. Предположим противное.
*Решение.*
Посчитаем сумму чисел в __ двумя способами: по строкам и по столбцам.
Первым способом (по строкам) получим, что эта сумма равна __.
Вторым --- __.
Но у нас должно получиться одно и то же число.
Мы пришли к __. Значит наше исходное предположение ложно.
Важная идея в задачах на доказательство и построение невозможности ситуации изучить, в данном случае посчитать одно и то же разными методами.
По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки.
По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки.
*Решение.*
__ противное.
Построим __ утверждения задачи: "любой мальчик сидит напротив мальчика."
Следовательно любая девочка сидит напротив __.
Таким образом, мальчики разбились на пары сидящих напротив друг друга. Пусть $k$ --- количество пар мальчиков.
Тогда общее число __ $2k=15$. Что невозможно.
Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше исходное предположение ложно, а следовательно то, что нужно было доказать в задаче верно.
Схема рассуждений в задачах на доказательство методом от противного
1) Сформулировать отрицание утверждения.
2) Провести рассуждение в сделанных предположениях.
3) Найти противоречие с условием задачи
4) Понять, что предположеение ложно
5) Сделать вывод!
Кирилл построил отрицание утверждения:
"Если африканский зверь быстрый и сильный, то он либо сытый, либо добрый."
У него получилось:
"__ быстрый, __, голодный и __ африканский зверь."