Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=|B|=|C|=15$, $|A\cap B|=4$, $|B\cap C|=5$, $|A\cap B\cap C|3$ и $|A\cup B\cup C|=29$. Найдите $|A\cap C|$
Каждый из 29 учеников 7Б класса , готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из стихотворений выучило по 15 ребят. При этом и первое, и второе выучили 4 человека, а второе и третье --- 5 человек. Сколько детей выучили и первое, и третье стихотворение, если известно, что трое выучили все три?
Сколько чисел, не делящихся на 31, находится в 31-й строчке треугольника Паскаля? (Напомним, что строчки треугольника Паскаля нумеруются, начиная с нулевой.)
Найдите сумму чисел в десятой строке треугольника Паскаля. (Напомним, что строки треугольника Паскаля нумеруются, начиная с нулевой.)
Какое число стоит в десятой строке треугольника Паскаля на третьем месте? Напомним, что строки и места в строках в треугольнике Паскаля нумеруются, начиная с нуля (т.е. имеется в виду четвёртое по счёту число).
Заполните пропуски в рассуждении.
Напишем единицу (это будет нулевая строчка). Под ней напишем две единицы (первая строчка). Под ними вторую строчку: 1, 2, 1. Каждую новую строчку будем писать по следующему принципу: крайние числа равны единице, а каждое из остальных чисел равно сумме двух соседних сверху чисел. Получится таблица, как на рисунке. Эта таблица называется треугольником Паскаля.
Докажем, что в $n$-й строке (напомним, что строки нумеруются, начиная с нуля) на $k$-м месте (давайте также места начнём нумеровать с нуля, так удобнее) стоит число $C_n^k$. Проведём стрелочки от каждого числа к обоим соседям снизу. Решим двумя способами задачу "Сколькими способами, двигаясь по стрелочкам, можно попасть из самой верхней клетки в данную?"
1 способ. В $k$-е число $n$-й строки (если $k\ne 0$ и $k\ne n$) можно попасть из __ или из __ числа __ строки. Значит, нужно сосчитать колиество способов добраться до этих чисел и сложить эти количества. Получается в точности алгоритм построения треугольника Паскаля. В нулевое и последнее число каждой строки есть ровно один способ попасть.
2 способ. Всего есть __ ходов по стрелочкам. Из них __ ходов должны быть сделаны влево-вниз, а остальные __ ходов - вправо-вниз. Наша задача - выбрать, какие именно ходы должны быть сделаны вправо-вниз. Количество таких способов равно $C_n^k$. Это и есть ответ к нашей задаче.
Итак, мы доказали, что числа, построенные в треугольнике Паскаля, совпадают с биномиальными коэффициентами.