На острове Логики живут рыцари (всегда говорящие правду), лжецы (всегда говорящие неправду) и софисты. Софист может произносить только такие фразы, которые на его месте не смогли бы сказать ни рыцарь, ни лжец. Например, стоя рядом со лжецом, софист может сказать фразу <<Мы оба лжецы>> (потому что если бы он был рыцарем, то такая фраза была бы ложью, а если бы он был лжецом, она была бы истиной).
Однажды софист произнёс три утверждения о жителях острова:
1. На острове живут ровно 25 лжецов.
2. На острове живут ровно 26 рыцарей.
3. Софистов на острове не меньше, чем рыцарей.
Сколько всего человек живут на острове?
Обратить внимание на то, что Софист может говорить фразы, которые не являются ни истинными (иначе их мог бы сказать рыцарь), ни ложными (иначе их мог бы сказать лжец). Но всякая фраза либо истинна, либо ложна (в классической логике).
На доске написано двузначное число, а Петя, Вася и Коля пытаются поделить это число.
Петя: это число делится на 8, на 3 и на 5.
Вася: это число делится на 3, на 7 и на 8.
Коля: это число делится на 7, на 5 и на 8.
Известно, что каждый мальчик два раза ошибся и один раз сосчитал верно. Выясните, каким могло быть это число (приведите все варианты).
Задача учит считать, сколько раз каждое свойство упоминается, и использовать тот факт, что всего верных утверждений три (по одному на каждого мальчика). Приводит к сужению круга чисел до нескольких вариантов.
Перед началом урока учитель написал на доске какое-то целое число от 1 до 10. После этого дети по очереди сказали следующее:
Первый: <<Это число больше 1.>>
Второй: <<Это число больше 2.>>
\ldots
Девятый: <<Это число больше 9.>>
Десятый: <<Это число больше 10.>>
Одиннадцатый: <<Это число меньше 10.>>
\ldots
Двадцатый: <<Это число меньше 1.>>
Сколько раз ребята сказали правду?
Обратить внимание на решение через разбиение на пары противоречащих утверждений. Учит видеть симметрию и использовать её для подсчёта, не перебирая все 10 возможных чисел.
Четверо друзей измеряли длину удава в попугаях. Получилось, что в удаве помещается целое число попугаев. Через неделю они стали вспоминать, какое же это число. Удав сказал: <<Меньше 50>>. Слоненок сказал: <<Меньше 45>>. Мартышка сказала: <<Меньше 44>>. А попугай сказал: <<Меньше 43>>. Известно, что ровно двое из них ошиблись. Какова длина удава?
Используется упорядоченность и условие «ровно двое ошиблись» для однозначного определения числа. Задача направлена на работу с цепочкой неравенств и методом «от противного» через крайние значения.
Встретились четыре артиста А, Б, В и Г. Каждый из них через раз говорит правду, а через раз --- ложь. Между ними произошёл следующий разговор:
А: Б --- клоун.
Б: В --- клоун.
В: А --- клоун.
В: Б --- клоун.
Б: Г --- клоун.
А: Я сам клоун.
Сколько из этих артистов являются клоунами?
Используется нестандартный режим правдивости – чередование. Задача учит анализировать пары последовательных высказываний одного человека. Обратить внимание на то, что для решения не нужно знать, с правды или со лжи начинается каждый, достаточно того, что в двух подряд высказываниях одного человека одно истинно, другое ложно.