Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.
Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.
*Решение.*
Предположим __.
Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до __.
Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми __-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми __-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга.
Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.
Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к __.
Количество различных вариантов совпадает с числом учащихся. Нужны дополнительные рассуждения, о возможности наступления конретных вариантов одновременно.
К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.
К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.
*Решение.*
Предположим __ .
Вспомнив, как строить сложные отрицания, построим __ к утверждению задачи: "Среди шариков нет ни 8 одноцветных, ни 8 __."
Таким образом различных цветов не более __ и шариков каждого конкретного цвета не более __.
То есть, суммарно не более $7\cdot 7=49$ шариков. Мы пришли к противоречию с тем, что нам дано, что шариков 50. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.
В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.
В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.
*Решение.*
Предположим __ и то, что нужно __ не верно.
Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более __ учеников 7"В".
То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это __ условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.
Нужно обратить внимание детей на корректное построение отрицаний в неравенствах.
Не более, не менее. Рассуждение в стиле "ровно распределим по 4 ученика в каждый день недели" нужно избегать
Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок.
Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.
Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок. Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.
*Решение.*
Предположим __ и то, что нужно доказать не верно.
Не умаляя общности, можно предположить, что первый попавшийся Кириллу кроссовок правый. Тогда среди 11 вытащенных из мешка кроссовок нет __.
То есть, все 11 кроссовок __. Мы пришли к противоречию с тем, что Вова сложил в мешок лишь 10 правых кроссовков. Значит наше исходное предположение ложно, а то, что нужно было доказать в задаче выполнено.
Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?
Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ (5 строк, 6 столбцов) расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?
*Ответ:*__. Предположим противное.
*Решение.*
Посчитаем сумму чисел в __ двумя способами: по строкам и по столбцам.
Первым способом (по строкам) получим, что эта сумма равна __.
Вторым --- __.
Но у нас должно получиться одно и то же число.
Мы пришли к __. Значит наше исходное предположение ложно.
Важная идея в задачах на доказательство и построение невозможности ситуации изучить, в данном случае посчитать одно и то же разными методами.