Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?
Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?
*Ответ:* __.
*Решение.*
Предположим __. То есть, что оставшаяся часть оказалась разрезана на $k$ доминошек.
Тогда она содержала бы $2k=63$ __.
Мы пришли к __. Следовательно наше предположение не верно.
Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?
Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?
Ответ: __.
Предположим __. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ --- углы первого __. Напомним, что $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.
Тогда, например, $\alpha+\beta$ и $\alpha+\gamma$ --- два различных угла второго треугольника.
Но уже их сумма равна $2\alpha+\beta+\gamma>180^\circ$. Что противоречит тому, что сумма двух углов треугольника __ $180^\circ$. Мы пришли к противоречию.
То есть, наше исходное предположение ложно.
Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Предположим противное: сумма всех чисел равна __.
Так как произведение целых чисел равно 1, то каждое из них равно либо 1, либо __.
Пусть $k$ из них равны __ , а $50-k$ равны $-1$.
Тогда сумма всех чисел равна $k-(50-k)=0$. То есть, $k=25$.
Но тогда __ всех чисел равно $(-1)^{25}=-1$. Что противоречит условию задачи.
Схема рассуждений в задачах на доказательство методом от противного
1) Сформулировать отрицание утверждения.
2) Провести рассуждение в сделанных предположениях.
3) Найти противоречие с условием задачи
4) Понять, что предположеение ложно
5) Сделать вывод!
Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик?
Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик?
Ответ: __.
Решение.
Предположим противное.
Разложим кучки в порядке возрастания количества шаров в них.
В самой маленькой кучке лежит не менее __ шара.
В следующей --- не менее __ шаров.
В следующей --- не менее __.
В четвертой --- не менее __.
В пятой --- не менее __ шаров.
Таким образом в сумме должно быть не __ $1+2+3+4+5=15$ шаров. Мы пришли к противоречию с тем, что шаров всего 14.
Важная мысль
Упорядочить кучи по количеству шариков.
При этом важно помнить о неравенстве.
В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?
В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?
*Ответ:*__.
*Решение.*
Предположим противное.
Тогда при такой расстановке имеются __ различных сумм:
четыре по строкам, __ по столбцам и две по диагоналям.
Эти суммы могут принимать целые значения от $-4$ до __.
Если они все различные, то их не может быть больше 9. Противоречие.