Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=24$, $|B|=15$, $|A\cup B|=30$. Найти $|A\cap B|$.

Из 30 учеников второго класса каждый хотя бы раз был на линейке 1 сентября. При этом 24 ребёнка были на линейке в первом классе, и 15 детей – во втором. Сколько ребят присутствовали на линейке оба раза?

...

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_Из 30 учеников второго класса каждый хотя бы раз был на линейке 1 сентября. При этом 24 ребёнка были на линейке в первом классе, и 15 детей – во втором. Сколько ребят присутствовали на линейке оба раза?_

*Решение.*

Всего в классе $30-24=6$ детей, пропустивших линейку в 1 классе. Из условия мы знаем, что они __ 1) были 2) не были на линейке во второй год.

Во второй год на линейке было 15 детей, __ из них не были в предыдущем году,
значит остальные __ – были.

Даны подмножества $A$ и $B$ в множестве $C$. Известно, что $|C|=32$, $|A|=10$, $|B|=16$, $|A\cap B|=7$. Найти $|C\backslash (A\cup B)|$.

Из класса, в котором учится 32 человека, за день некоторые дети получили оценки (возможно несколько). Пятёрку получило 10 человек, а четверку – 16. Сколько детей не получило ни четверки, ни пятёрки, если семеро получили и четверку и пятёрку?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=26$, $|A\cup B|= 30$, $|A\cap B|= 10$. Найти $|B|$.

Ученики за каникулы прочитали две книги. Первая книга понравилась 26 детям, а обе книги – десяти. Скольким детям понравилась вторая книга, если оказалось, что каждому из всех   30 учеников класса понравилось хоть что-то из прочитанного?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=14$, $|B|=6$, $|A\cap B|=4$. Найти $|A\cup B|$.

В классе некоторые из учеников записались на занятия по танцам, проходящие по вторникам и четвергам. Известно, что во вторник занятие посетили 14 человек, в четверг – 6. При этом четверо были на занятии оба раза.

Сколько детей хотя бы раз присутствовали на занятиях?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=14$, $|B|=6$, $|A\cap B|=4$. Найти $|A\cup B|$.

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_В классе некоторые из учеников записались на занятия по танцам, проходящие по вторникам и четвергам. Известно, что во вторник занятие посетили 14 человек, в четверг – 6. При этом четверо были на занятии оба раза.

Сколько детей хотя бы раз присутствовали на занятиях?_

*Решение.*

Из детей, присутствовавших на занятии хотя бы раз, 14 были во вторник. Тогда остальные – это в точности дети, пришедшие в четверг, но не пришедшие во вторник. В четверг на занятии было 6 человек, из которых __ было и во вторник.

Значит детей, присутствоваших только в четверг – двое. Итого всего детей, пришедших хотя бы раз – __ + __ = __.

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=20$, $|B|=16$, $|B\backslash A|=7$.

Найти $|A\backslash B|$.

В классе 20 человек дополнительно занимаются историей, а 16 – географией. Сколько человек занимаются историей, но не географией, если известно, что 7 детей изучают географию, но не историю.

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=20$, $|B|=16$, $|B\backslash A|=7$. Найти $|A\backslash B|$.

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_В классе 20 человек дополнительно занимаются историей, а 16 – географией. Сколько человек занимаются историей, но не географией, если известно, что 7 детей изучают географию, но не историю?_

*Решение.*

Из условия знаем, что из 16 детей, занимающихся географией, __ не занимаются историей. Значит оставшиеся $16-7=9$ занимаются и тем, и другимпори.

Тогда и наоборот, из 20 детей, занимающихся историей, __ изучают и географию.

Тогда остальные __ детей, изучающих историю, учат только историю.

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=10$, $|B|=15$, $|A\cap B|=3$. Найти $|(B\backslash A)\cup(A\backslash B)|$.

Из учеников одного класса 10 человек изучают французский язык, а 15 – немецкий. При этом оказалось, что трое из них учат оба языка. Сколько детей учат только один язык?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=10$, $|B|=15$, $|A\cap B|=3$.

Найти $|(B\backslash A)\cup(A\backslash B)|$.

Заполните пропуски в решении предыдущей задачи *множества05*.

Дети, которые учат только 1 языка делятся на 2 типа:
а) те, которые учат только французский;
б) те, которые учат только немецкий.

Посчитаем количества детей этих типов по отдельности.

Всего детей занимающихся немецким – 15. Они делятся на два типа:
1) изучающие оба языка,
2) изучающие только немецкий.

Первых по условие трое. Тогда дети, изучающие только немецкий – это оставшиеся __ человек.

Аналогично, всего детей, изучающих французский – 10, и из них 3 изучают оба языка. Значит, только французским занимаются оставшиеся __ детей.

Итого один язык изучают __ человек.

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A\backslash B|=8$, $|B\backslash A|=10$, $|A\cup B|=20$. Найти $|A\cap B|$.

20 человек из класса занимаются в музыкальной школе, и там учатся играть на скрипке или фортепиано. 8 из них учатся только игре на скрипке, а 10 – только игре на фортепиано. Сколько детей изучает оба инструмента?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=10$, $|B|=15$, $|A\cap B|=3$. Найти $|B\backslash A|$.

Из учеников одного класса 10 человек изучают французский язык, а 15 – немецкий. При этом оказалось, что трое из них учат оба языка.

Сколько детей занимаются только немецким?

Даны множества $A\subset B$, известно, что $|B|=20$, $|A|=13$, найти $|B\backslash A|$.

В классе 20 человек и 13 из них ходят на дополнительные занятия по русскому языку. Сколько учеников не посещают дополнительных занятий?

В множестве элементов выбраны два подмножества.

В скольки подмножествах может содержаться фиксированный элемент?

Для учеников класса, в котором учится Ренат, проводят кружки по математике и по физике.

Какое количество кружков может посещать Ренат?

На листе бумаги нарисован выпуклый 20-угольник и проведены все его диагонали. Оказалось. что никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения диагоналей?

Из колоды 36 карт выбрали шесть карт, и оказалось, что среди них присутствует три карты одной масти и три карты другой масти. Сколько существует вариантов такого выбора карт?

В колоде 36 карт. Из колоды выбрали шесть карт, и оказалось, что все они одной масти. Сколько существует вариантов такого выбора?

В классе есть 11 мальчиков и 10 девочек. На дежурство необходимо отправить трёх мальчиков и двух девочек. Сколькими способами можно выбрать дежурных?

В наборе есть 10 карандашей. Сколькими способами можно выбрать два или три карандаша?

Сколько существует семизнаяных чисел из трёх единиц и четырёх двоек?

На плоскости отмечено десять точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Сколькими способами можно выбрать четыре карандаша из десяти? Заполните пропуски в решении задачи.

Представим сперва, что порядок выбора карандашей важен. Первый карандаш мы можем выбрать __ способами. Второй - __ способами, третий - __, четвёртый - __.. Эти способы нужно перемножить. 

Теперь пусть порядок выбора карандашей неважен. Тогда каждый способ мы сосчитали столько раз, сколько всего есть порядков для выбранных карандашей, т.е. __. Итого получается $\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4!}=\frac{10!}{4!6!}$ способов.

Важное замечание: число $\frac{n!}{k!(n-k)!$ мы будем называть биномиальным коэффициентом и обозначать $C_n^k$.

Из десяти различных цифр (от 0 до 9) нужно выбрать три цифры и составить из них число, в котором цифры идут в порядке убывания. Сколькими способами это можно сделать?

Сколькими способами можно из 20 человек выбрать двоих дежурных?

При каких натуральных значениях а корни уравнения  9x^2-2x-a^2 = 0 рациональны?

Среди первых ста членов арифметической прогрессии с положительной разностью есть три числа 13/6, 75/2 и 389/6. Найдите d - разность этой прогрессии и наименьшее из возможных значений первого члена прогрессии a.

В ответе укажите отношение a/d виде неправильной несократимой дроби.

Какое наименьшее число ладей нужно поставить на доску 9×9 так, что если снять все ладьи, стоящие на белых полях, то оставшиеся ладьи будут бить все белые поля, а если снять все ладьи, стоящие на чёрных полях, то оставшиеся ладьи будут бить все чёрные поля?

_Памятка
1. На острове живут аборигены двух племён: рыцари, которые обладают способностью всегда говорить правду, лжецы, которые обладают способностью всегда говорить ложь, если они (лжецы или рыцари) не находятся под воздействием магов.
2. Среди аборигенов обоих племён встречаются маги, обладающие даром менять способности простых аборигенов на противоположные: если в компании присутствует маг, то обязательно в компании найдётся простой абориген (и только один), находящийся под его воздействием (на всё время его нахождения в этой компании).
3. Маги не могут действовать на одного и того же аборигена одновременно.
4. Маги не могут действовать друг на друга, а действуют только на обычных аборигенов.
5. На острове могут (в разных компаниях по-разному) встречаться шесть видов аборигенов: рыцари маги (обозначение МР), лжецы маги (МЛ), рыцари, находящиеся под воздействием магов (Р*), лжецы, находящиеся под воздействием магов (Л*), просто рыцари, которые не маги и не находятся под воздействием магов (Р), и просто лжецы, которые не маги и не находятся под воздействием магов (Л)._

Девять аборигенов (см. памятку выше) стоят по кругу. Среди них ровно три мага. Каждый сказал, что среди его соседей нет магов. Найти наибольшее возможное число лжецов (любого вида) среди них.