Имеется куча из 12345 камней. Петя и Вася ходят по очереди (начинает Петя). За один ход можно взять 5, 6, 7, 8, 9 или 10 камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько камней нужно взять Пете первым ходом, чтобы выиграть? Если вы считаете, что выигрышная позиция есть у Васи, то напишите 0.

Петя и Вася по очереди передвигают слона. За ход его можно переместить на любое количество полей вправо-вверх или вправо-вниз. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Перечислите, какие клетки четвёртой горизонтали являются проигрышными.

Петя и Вася по очереди передвигают ладью. за ход её можно переместить на любое количество полей вверх или вправо. Проигрывает тот, кто поставит ладью на поле Н8. Перечислите, какие из позиций являются проигрышными: С2, С3, С4, D4, D5, D6. G3, G6, G7.

Петя и Вася по очереди перемещают короля на шахматной доске. За один ход можно переместить его на одну клетку вверх, вправо или по диагонали вверх-вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Какие из перечисленных позиций являются проигрышными? B2, B3, B4, C4, C5, D5, D6, D7.

Петя и Вася по очереди передвигают ладью. за ход её можно переместить на любое количество полей вверх или вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Перечислите, какие из позиций являются проигрышными: С2, С3, С4, D4, D5, D6. G3, G6, G7.

Пусть есть некоторая игра (играют Петя и Вася, делают ходы по очереди, начинает Петя). Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами некоторая позиция, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П). Какие утверждения являются верными? Перечислите пункты без пробелов.

а) Из выигрышной позиции можно попадать только на проигрышные,

б) Из проигрышной позиции можно попадать только на выигрышные,

в) Из выигрышной позиции существует хотя бы один ход на проигрышную,

г) Из выигрышной позиции существует ровно один ход на проигрышную,

д) Из проигрышной позиции существует ровно один ход на выигрышную,

е) Из выигрышных позиций можно попадать только на выигрышные, а из проигрышных - только на проигрышные.

Перед Петей и Васей есть две кучи, по 100 конфет в каждой. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять любое число конфет, но из одной кучи. Прогрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами две кучи из $k$ и $n$ конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).

Позиция (0,0) (когда конфет не осталось ни в одной из кучек, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции $(0,k)$ и $(k,0)$ - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию (0,0)). Позиция (1,1) - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции (0,1) или (1,0)). Позиции $(1,k)$ и $(k,1)$ при $k>1 - __ (из них можно получить позицию (1,1)). Продолжая далее, заметим, что позиции $(n,k) с равными $n$ и $k$ - __, а с неравными $n$ и $k$ - __. Так как (100,100) - позиция с равным количеством конфет в долях, то выиграет __.

Перед Петей и Васей есть куча из 100 конфет. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять от 1 до 5 конфет. Прогрывает тот, кто съест последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?

Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами куча из n конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).

Позиция 1 (когда осталась 1 конфета, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции от 2 до 6 - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию 1). Позиция 7 - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции от 2 до 6). Позиции 8-12 - __ (из них можно получить позицию 7). Продолжая далее, заметим, что позиции, дающие остаток 1 при делении на 6 - __, а дающие все остальные остатки при делении на 6 - __. Так как 100 не даёт остаток 1 при делении на 6, то выиграет __, ему нужно для выигрыша взять __ конфет(-ы или -у).

Перед Петей и Васей есть куча из 100 конфет. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять от 1 до 5 конфет. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами куча из n конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).

Позиция 0 (когда осталось 0 конфет, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции от 1 до 5 - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию 0). Позиция 6 - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции от 1 до 5). Позиции 7-11 - __ (из них можно получить позицию 6). Продолжая далее, заметим, что позиции, кратные 6 - __, а не кратные 6 - __. Так как 100 не кратно 6, то выиграет __, ему нужно для выигрыша взять __ конфет(-ы или -у).

Ладья стоит на поле А1 шахматной доски. Петя и Вася по очереди перемещают эту ладью. Начинает Петя, за ход можно переместить ладью на любое количество клеток вверх или вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Петя переместил ладью на А7. Какой ход должен сделать Вася для выигрыша?

На столе лежат две кучи по 10 конфет. Петя и Вася по очереди берут конфеты. Начинает Петя. За один ход можно взять сколько угодно конфет, но только из одной кучи. Проиграет тот, кто не сможет сделать ход. Петя первым делом взял 9 конфет из первой кучи. Как должен действовать Вася, чтобы победить? Он должен взять __ конфет из __ кучи.

Ферзь стоит на клетке А2 шахматной доски. Петя и Вася по очереди могут передвигать его на любое количество клеток, но только в трёх направлениях - вправо, вверх или по диагонали вправо-вверх. Начинает Петя. Если кто-то не может сделать ход согласно правилам, то он проигрывает. Какой ход нужно сделать Пете, чтобы точно выиграть после второго своего хода?

Внучке столько месяцев сколько бабушке лет. Вместе им 65 лет. Сколько лет бабушке?

Отец в два раза старше сына, а 15 лет назад был старше в три раза. Сколько сейчас отцу?

Когда отцу было 27 лет, сыну было три года. Сейчас отцу в три раза больше чем сыну. Сколько лет сыну?

Отцу 30 лет, сыну 5. Через сколько лет отец будет в два раза старше сына?

Матери 30 лет, а трем дочерям 7, 8 и 9. Через сколько лет сумма возрастов дочерей превысит вдвое возраст матери?

Когда отцу было 40 лет, сыну было 12. Сколько будет отцу, когда сыну будет 40 лет?

Даны 4 множества, по 28 элементов в каждом. Любые два пересекаются по 21 элементу, любые три – по 15, а в пересечении всех четырёх – 10 элементов. Сколько элементов в объединении?

Контрольная состояла из 4 задач, каждую решило по 28 человек. При этом для любых двух задач нашелся ровно 21 человек, решивший обе. Для любых трёх задач ровно 15 людей решило их все. Сколько всего людей решило хоть что-то, если известно, что 10 человек решили все 4 задачи?

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=|B|=|C|=15$, $|A\cap B|=7$, $|B\cap C|=6$, $|C\cap A|=9$ и $|A\cup B\cup C|=28$. Найдите $|A\cap B\cap C|$.

Каждый из 28 учеников 7В класса , готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из стихотворений выучило по 15 ребят.

При этом и первое, и второе выучили 7 человек, второе и третье – 6 человек, а первое и третье – 9. Сколько детей выучили выучили все три стихотворения?

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=|B|=|C|=15$, $|A\cap B|=4$, $|B\cap C|=5$, $|A\cap B\cap C|3$ и $|A\cup B\cup C|=29$. Найдите $|A\cap C|$

Каждый из 29 учеников 7Б класса , готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из стихотворений выучило по 15 ребят. При этом и первое, и второе выучили 4 человека, а второе и третье --- 5 человек. Сколько детей выучили и первое, и третье стихотворение, если известно, что трое выучили все три?

0

*Условие.*

_Каждый из 29 учеников 7Б класса , готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из стихотворений выучило по 15 ребят. При этом и первое, и второе выучили 4 человека, а второе и третье --- 5 человек. Сколько детей выучили и первое, и третье стихотворение, если известно, что трое выучили все три?_

*Решение.*

Дети, выучившие первое и третье стихотворения, это трое ребят, выучившие все три стихотворения, и те, кто выучил первое и третье, но не выучил второе. Посчитаем их количество. Рассмотрим детей не выучивших второе стихотворение.

Всего их $29-15=14$.

Из них __ выучили первое, а __ – третье, и каждый выучил хоть что-то.

Нужно найти количество тех из них, кто выучил и первое и третье. Из этих 14 детей 10 выучили третье, значит оставшиеся 4 – только первое.

Тогда из тех, кто выучил первое, __ выучили только первое, значит остальные 7 выучили и третье. То есть среди не выучивших второе 7 детей выучили первое и третье.

Итого детей выучивших первое и третье стихотворения $3+7=10$ человек.

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=|B|=15$, $|A\cap B|=7$, $|B\cap C|=4$, $|C\cap A|=3$, $|A\cap B\cap C|=2$ и $|A\cup B\cup C|=30$. Найдите $|C|$

Каждый из учеников 7А класса, готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из первых двух стихотворений выучило по 15 ребят, при этом и первое, и второе выучили 7 человек. И первое, и третье стихотворение выучили трое, а второе и третье – четверо. Сколько детей выучили третье стихотворение, если известно, что двое выучили все три?

0

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_Каждый из 30 учеников 7А класса, готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из первых двух стихотворений выучило по 15 ребят, при этом и первое, и второе выучили 7 человек. И первое, и третье стихотворение выучили трое, а второе и третье – четверо. Сколько детей выучили третье стихотворение, если известно, что двое выучили все три?_

*Решение.*

Дети, выучившие третье стихотворение бывают 4 типов:
1) Выучившие все три стихотворения. Таких по условию 2.
2) Выучившие только первое и третье стихотворение. Чтобы их посчитать, вычтем из количества детей, выучивших первое и третье, число тех из них, кто выучил ещё и второе, и получим $3-2=1$ ребенок.
3) Выучившие только второе и третье стихотворение. Чтобы их посчитать, вычтем из количества детей, выучивших второе и третье, число тех из них, кто выучил ещё и первое, и получим __ ребенка
4) Выучившие только третье стихотворение. Чтобы посчитать их количество, посчитаем количество остальных, и вычтем из общего числа.

Остальные – это те, кто выучил: 
a) хотя бы одно из первых двух стихотворений;
б) первое и второе стихотворения;
в) только первое или только второе.
Ваш вариант ответа: __ 

Тех кто выучил первое – 15, а тех, кто выучил второе, но не первое – $15-7=8$. Суммарно таких детей 23.

Значит тех, кто выучил только третье – __.

Последним действием, сложим все найденные количества, чтобы получить общее число выучивших третье стихотворение. $2+1+2+7=12$ детей.

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=|B|=12$, $|A\cap B|=7$, $|B\cap C|=6$, $|C\cap A|=9$ и $|A\cap B\cap C|=5$. Найдите $|(A\cup B)\backslash C|$

Одноклассники записывались в спортивные секции: по плаванию, волейболу и борьбе. Известно, что на секции по плавнию и волейболу записалось по 12 человек, при этом пятеро записалось на все три секции. Семеро записалось и на плавание, и на волейбол, 6 – и на волейбол, и на борьбу, а 9 – и на плавание, и на борьбу.

Найдите количество детей, не записавшихся на борьбу, если каждый куда-то записался.

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=|B|=|C|=15$, $|A\cap B|=4$, $|B\cap C|=5$, $|C\cap A|=11$ и $|A\cap B\cap C|=3$. Найдите $|A\cup B\cup C|$.

Ученики класса изучают иностранные языки: английский, французский и немецкий. Каждый язык учит 15 человек. При этом и английский, и французский изучают 4 человека, французский и немецкий ---5 детей, а английский и немецкий --- 10. Сколько всего детей изучает языки, если есть ровно 3 ребёнка, изучающих все три языка?

0

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_Ученики класса изучают иностранные языки: английский, французский и немецкий. Каждый язык учит 15 человек. При этом и английский, и французский изучают 4 человека, французский и немецкий – 5 детей, а английский и немецкий – 10. Сколько всего детей изучает языки, если есть ровно 3 ребёнка, изучающих все три языка?_

*Решение.*

Дети, изучающие языки, делятся на __ типов по набору изучаемых ими языков.
Детей, изучающих все три языка, по условие трое. Чтобы посчитать количество детей, изучающих ровно два конкретных языка, например, английский и французский, надо из общего числа детей, изучающих английский и французский вычесть количество детей, изучающих ещё и немецкий. То есть детей, изучающих только английский и французский – $4-3=1$.
Аналогично, __ ребёнка изучают только французский и немецкий, и 8 детей – только английский и немецкий. Чтобы посчитать количество детей, изучающих ровно один конкретный язык, например, английский, надо из общего числа детей, изучающих английский, вычесть количество детей, изучающих что-то ещё.
Есть __ варианта, что ещё кроме английского дети могут учить.

Либо они, в добавок к английскому, учат и французский и немецкий – таких 3 ребёнка.
Либо учат ещё французский, но не немецкий, таких, как мы посчитали ранее --- 1 ребёнок.
Либо учат ещё немецкий, но не французский. А таких, как было посчитано ранее --- 7 человек.

Итого только английский учат $15-3-1-8=3$.

Аналогично, только французский учат __ детей, а только немецкий – 2 ребёнка. Осталось сложить все найденные количества, чтобы узнать общее число детей. $3+1+2+8+3+9+2=28$ детей учат языки.

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=14$, $|A\cap B|=10$, $|A\cap C|=5$ и $|A\cap B\cap C|=4$. Найдите $|A\backslash (B\cup C)|$.

Некоторые из учеников увлекаются рисованием, музыкой и танцами. При этом известно, что 14 ребят увлекается рисованием, 10 – рисованием и музыкой, 5 – рисованием и танцами, а 4 интересуется и рисованием, и музыкой, и танцами. Сколько детей увлекается только рисованием?

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=10$, $|B|=10$, $|C|=10$, $|A\cap B|=3$, $|B\cap C|=2$, $|C\cap A|=1$ и $|A\cap B\cap C|=0$. Найдите $|A\cup B\cup C|$

Для учеников класса работают кружки по математике, физике и информатике, в каждом занимается по 10 человек. При этом, у кружков по физике и математике 2 общих участника, у кружков по математике и информатике – 3 общих, а у кружков по физике и информатике – только 1 общий участник.

Сколько всего детей посещает кружки, если нет ребенка, занимающегося во всех трёх кружках?

Даны три множества $A, B, C$. Известно, что $|A|=4$, $|B|=15$, $|C|=10$, $|A\cap B|=2$, $|B\cap C|=5$, $|A\cap C|=0$. Найдите $|A\cup B\cup C|$

За один учебный день некоторые из учеников получили тройки, четверки и пятерки. При этом оказалось, что пятерки получили 4 человека, четверки – 15, а тройки – 10. Известно что и пятерку, и четверку получило двое детей, а и четверку, и тройку – пятеро, но никто не получил и пятёрку, и тройку одновременно. Сколько всего детей получивших оценки?