При делении некоторого числа $m$ на 13 и 15 получили одинаковые частные,
но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число $m$.

Найдите все натуральные числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке.

Женя задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15.
Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

Натуральное число даёт остаток $2$ при делении на 5. На какую цифру оно может оканчиваться?

Лиза и Ксюша делят одно и то же натуральное число с остатком. Лиза делит его
на 8, а Ксюша на 9. Частное, которое получила Лиза, и остаток, который получила
Ксюша, в сумме дают 13. Какой остаток получился у Лизы?

Число $2n$ дает при делении на 13 остаток 6. Какой остаток при делении на 13
может давать число $n$?

Найдите остаток при делении $258$ на $53$; $2183$ на $37$; $-345$ на $13$.

Заполните пропуски в решении задачи "Сколькими способами можно переставить буквы в сочетании АА...ААББ...Б (*m* букв "А" и *n* букв "Б")."

Если бы все буквы были различными, то всего было бы __ способов переставить буквы.

Но *m* букв А одинаковые, и тем самым мы сосчитали каждый вариант столько раз, сколькими способами можно переставить буквы А, т.е. __ раз.

Аналогично, считая теперь *n* букв Б одинаковыми, мы сосчитали каждый из способов __ раз. Получаем ответ:

(m+n)! / ( m! \cdot n!).

Есть семь разноцветных бусинок. Сколькими способами из них можно собрать ожерелье? Ожерелье можно поворачивать и переворачивать.

Есть семь разноцветных бусинок. Сколькими способами из них можно собрать ожерелье? Ожерелье можно поворачивать, но нельзя переворачивать.

Сколькими способами можно разбить шестерых человек на три пары?

Имеется шесть дежурных и три кабинета - №1, №2 и №3. Необходимо в каждый кабинет посадить по двое дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Сколькими способами можно разместить на шахматной доске два одноцветных ферзя так, чтобы ни один из ферзей не бил другого?

Сколькими способами можно разместить на шахматной доске три одноцветных ладьи так, чтобы ни одна из ладей не била другую?

Сколькими способами можно разместить на шахматной доске две одноцветных ладьи так, чтобы ни одна из ладей не била другую?

Вставьте пропуски в решении задачи *Сколькими способами можно поставить в ряд 3 белых, 3 чёрных и 4 красных кубиков?*.
Допустим, что все кубики разные. Тогда всего есть __ вариантов поставить кубики в ряд. Так как белые кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ __ раз, а значит, общее количество вариантов нужно __ на это число. Аналогично, так как чёрные кубики одинаковы, то каждый способ мы сосчитали __ раз; так как красные кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ __ количество раз. Итого ответ: __ способов.

Вставьте пропуски в решении задачи *"Сколькими способами можно поставить в ряд 3 белых, 3 чёрных и 4 красных кубиков?"*.
– Допустим, что все кубики разные. Тогда всего есть __ вариантов поставить кубики в ряд.

– Так как белые кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ __ раз.

– А значит, общее количество вариантов нужно __ на это число.

– Аналогично, так как чёрные кубики одинаковы, то каждый способ мы сосчитали __ раз. 

– Так как красные кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ несколько раз, а именно: __.

Итого ответ: __ способов.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<МАТЕМАТИКА>>?

Вариант поставить буквы в исходном порядке также считается перестановкой.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<БАРАБАН>>?

(Способ поставить буквы в том же порядке также считается перестановкой.)

Сколько чисел можно составить из цифр 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5? В числе должны быть использованы все имеющиеся цифры.

Сколько чисел можно составить из цифр 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5? В числе должны быть использованы все имеющиеся цифры.

Сколько чисел можно составить из цифр 1, 1, 1, 2, 3, 4?

В числе должны быть использованы все имеющиеся цифры.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<ОЛОВО>>? (Как и в прежних задачах, оставить буквы в исходном порядке тоже считается перестановкой.)

Сколькими способами можно поставить две неразличимые белые фишки на шахматную доску (в одной клетке не может стоять более одной фишки)?

Сколькими способами можно поставить одну чёрную и одну белую фишки на шахматную доску (в одной клетке не может стоять более одной фишки)?

Вставьте пропуски в решении задачи

<<Сколькими способами можно переставить буквы в слове КОЛЕСО>>.

Пусть все буквы будут разные. Тогда существует __ перестановок букв.

Но две буквы О одинаковые, поэтому каждый вариант мы сосчитали __ раз(а).

Следовательно, ответ: __ способов.

Вставьте пропуски в решении задачи

*"Сколькими способами можно переставить буквы в слове КОЛЕСО"*.

– Пусть все буквы будут разные. Тогда существует __ перестановок букв.

– Но две буквы О одинаковые, поэтому каждый вариант мы сосчитали __ раз(а).

– Следовательно, ответ: __ способов.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<ЛИНИЯ>>? (Оставить буквы в том же порядке также считается перестановкой, но две буквы И неразличимы.)

Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<ПАРУС>>? (Исходный вариант расстановки букв также считается перестановкой.)

Две круглые беговые дорожки имеют длину 3300 м каждая и пересекаются в одной точке. В этой точке стоит мужик. Скорость бега мужика по одной дорожке – 300 м/мин, а по второй – 220 м/мин. На каком минимальном расстоянии (считая по дороге) от исходной точки окажется мужик через 1 ч 20 мин после старта, если он начнет непрерывно бегать по дорожкам, не разворачиваясь? Ответ дайте в метрах.

В разные моменты времени из пунктов А и В, выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Встретившись в точке С, находящейся на расстоянии 4 км от А, они тотчас развернулись и поехали обратно. Доехав до своих пунктов, они опять развернулись и поехали навстречу друг другу. На этот раз они встретились в точке D, которая находится в 7 км от А. Развернувшись, они вновь поехали к своим пунктам. И т.д. На каком расстоянии от А произойдет их 2025 встреча? Ответ дайте в километрах.

Дорога между пунктами A и B состоит только из наклонных участков: иногда она идёт в гору (вверх), а иногда под гору (вниз). Никита идёт в гору со скоростью 3 км/ч, а под гору со скоростью 5 км/ч. Первую половину пути из A в B он прошёл за 32 минуты, а вторую половину –– за 37 минут. Возвращаясь из B в A, он преодолел первую половину пути за 36 минут. Сколько времени
ему потребуется на вторую половину? Ответ запишите в минутах.