Найдите десятое по счёту простое число.

В детском лагере два отряда, в которых 17 и 23 человек. В столовой отдельно стоят столы первого и второго отрядов. За каждым столом может сидеть 5 или 6 детей.  Работникам столовой важно только то, сколько детей сидит за столом.  Сколько существует различных, с их точки зрения, способов рассадки детей?

Андрей бросает монету 10 раз, после каждого раза записывая результат броска (орёл или решка). Сколько возможных записей может быть у Андрея?

Сколько существует трёхзначных чисел, записываемых различными цифрами?

Сколько существует трёхзначных чисел, записываемых только чётными цифрами?

Сколько существует трёхзначных чисел, записываемых только нечётными цифрами?

В классе 30 детей. Сколькими способами можно выбрать из класса старосту и его помощника?

У Васи есть два кубика - красный и синий. На каждой грани каждого кубика написано число от 1 до 6 (на каждом кубике числа написаны по разу). Вася бросил оба кубика. Сколько различных комбинаций у него могло выпасть? (Комбинации типа "на красном кубике двойка, а на синем тройка" и "на красном кубике тройка, а на синем двойка" считаем различными.) 

Сколько различных комбинаций может быть, если бросить монету и кубик?

Имеются красные и синие бусинки.Составляется круговое ожерелье из 22 бусинок. Оно называется счастливым, если в нем нет двух красных бусинок, между которыми ровно одна (любая) бусинка. Какое наибольшее количество красных бусинок может быть в счастливом ожерелье?

Катя выписывает k натуральных чисел, каждое из которых является делителем числа $6^4$. При каком наименьшем k среди этих делителей наверняка найдутся два числа, одно из которых делится на другое?

Какое наибольшее количество натуральных чисел можно взять, чтоб ни для каких двух из этих чисел ни их сумма, ни их разность не делилась на 10?

На квадратном столе 1 м на 1 м разбрасывают 999 квадратных бумажных салфеток размером 10 см на 10 см. При каком наибольшем $k$ верно такое утверждение: всегда можно воткнуть в стол булавку, протыкающую не менее k салфеток? (Каждая салфетка полностью лежит на столе. Если булавку воткнуть в границу салфетки, то она не протыкает салфетку.)

Группа из 9 друзей на завтраке сели за 2 стола. На обеде те же 9 друзей сели за 2 стола, в каком-то другом порядке. При каком наибольшем m точно найдутся m друзей, которые сидели за одним столом как на завтраке, так и на обеде?

Дана цепочка из 23 красных и синих бусинок (т.е. 23 бусинки в ряд). Известно, что через одну от красной бусинки обязательно находится синяя бусинка. Каково наибольшее возможное количество красных бусинок?

Какое наибольшее количество натуральных чисел можно взять, чтоб ни для каких двух из них их разность не делилась на 10?

Фигура суперкороль бьет клетки, на которые обычный король может попасть с данной клетки за один или два хода. Какое наибольшее количество суперкоролей можно расположить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга? 

Игра в "Морской бой-light" происходит на поле 7x7. Ася ставит двухпалубный корабль (т.е. "доминошку" из двух клеток), а Боря стреляет по клеткам. Какое наименьшее количество выстрелов потребуется Боре, чтобы наверняка ранить Асин корабль (т.е. попасть выстрелом в одну из клеток корабля).

Какое наибольшее количество пешек можно поставить на доске 7x7 так, чтобы никакие две пешки не оказались в соседних по стороне клетках?

В круговом ожерелье из 27 бусинок некоторые бусинки красные, но нет двух соседних красных бусинок. Каково наибольшее возможное количество красных бусинок?

В мешке лежат шарики двух разных цветов: красного и синего. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них наверняка оказались либо три красных шарика, либо пять синих? (И то и другое - тоже годится.)

Саша выписывает k натуральных чисел, каждое из которых является делителем числа 1024. При каком наименьшем k среди этих делителей наверняка найдутся два числа, одно из которых делится на другое?

В мешке деда Мороза 100 конфет для 20 обидчивых детей. Ребенок обижается, если получает менее 7 конфет. Какое наименьшее количество детей могут остаться обиженными? 

В коробке много карандашей десяти цветов десяти разных фирм. Какое наименьшее количество карандашей не глядя нужно вытащить, чтобы наверняка нашлись два карандаша либо одного цвета, либо одной фирмы (либо и то и другое)?

Какое наибольшее количество натуральных чисел можно взять, чтоб ни для каких двух из них их сумма не была четной?

В ряд выписывают 17 натуральных чисел так, чтобы никакие два соседних числа не были четными. Какое наибольшее возможное количество четных чисел среди выписанных?

В игре на биляьрде в 6 луз забили 15 шаров. При каком наибольшем k верно утверждение: обязательно найдется луза, в которую забили не менее k шаров.

Играя в бильярд, в 6 луз забили 15 шаров. При каком наибольшем $k$ верно утверждение: обязательно найдется луза, в которую забили не менее $k$ шаров.

Известно, что в мешке лежат кубики четырех разных цветов: красного, синего, зеленого и желтого. Какое наименьшее число кубиков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два кубика одного цвета?

Кирилл 100 раз подряд выписал число 100. Получилось 100100\ldots 100.
Найдите остаток полученного числа при делении на 11.

Кирилл 100 раз подряд выписал число 100. Получилось
100100\ldots 100. Найдите остаток полученного числа при делении на 9.