Один из островитян сказал другому: «По крайней мере один из нас — рыцарь». «Ты — лжец», — ответил ему второй. Кто из них кто?
Первый: __
Второй: __
В клетках квадрата 4x4 стоят островитяне. В некоторый момент каждый из них произнес: «Во всех соседних со мной по стороне клетках стоят лжецы». Какое наибольшее количество лжецов могло быть среди них?
Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик?
Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик?
Ответ: __.
Решение.
Предположим противное.
Разложим кучки в порядке возрастания количества шаров в них.
В самой маленькой кучке лежит не менее __ шара.
В следующей --- не менее __ шаров.
В следующей --- не менее __.
В четвертой --- не менее __.
В пятой --- не менее __ шаров.
Таким образом в сумме должно быть не __ $1+2+3+4+5=15$ шаров. Мы пришли к противоречию с тем, что шаров всего 14.
Важная мысль
Упорядочить кучи по количеству шариков.
При этом важно помнить о неравенстве.
Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.
Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.
*Решение.*
Предположим __.
Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до __.
Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми __-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми __-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга.
Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.
Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к __.
Количество различных вариантов совпадает с числом учащихся. Нужны дополнительные рассуждения, о возможности наступления конретных вариантов одновременно.
В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.
В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.
*Решение.*
Предположим __ и то, что нужно __ не верно.
Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более __ учеников 7"В".
То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это __ условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.
Нужно обратить внимание детей на корректное построение отрицаний в неравенствах.
Не более, не менее. Рассуждение в стиле "ровно распределим по 4 ученика в каждый день недели" нужно избегать