На сколько клеток площадь оранжевой фигуры меньше площади голубой?
Нам нужно найти, на сколько площадь оранжевой фигуры меньше площади голубой, то есть фактически найти разность площадей SГ – SО. Заданные фигуры неправильной формы, площади которых неудобно вычислять. Но если добавить к каждой из них белый четырехугольник (значение площади которого при вычитании уничтожится), то получатся «хорошие» для вычисления площади треугольник и четырехугольник.
Таким образом первая идея, которая используется при решении этой задачи – идея добавления одной и той же (общей) части к фигурам, чтобы получить удобные для вычисления площади фигуры.
Площадь треугольника может быть найдена по основной формуле: полупроизведение стороны на высоту, проведенную к ней. И здесь вырисовывается еще одна идея, которая полезна при решении задач по геометрии: рассмотрение привычной фигуры в другой ориентации. Здесь мы треугольник рассматриваем в положении, когда сторона, к которой проводится высота, расположена вертикально, а не горизонтально.
Для нахождения площади бело-голубого четырехугольника может быть использована идея достраивания до удобной фигуры (прямоугольника, стороны которого проведены вертикально и горизонтально через вершины бело-голубого четырехугольника). Площадь построенного прямоугольника складывается из площади четырехугольника и четырех прямоугольных треугольников
В том случае, когда учащиеся еще не знают формулу площади произвольного треугольника, та же идея могут быть использованы и для нахождения площади оранжево-белого треугольника.
Какова площадь зеленой фигуры (в квадратных сантиметрах), если известно, что площадь единичного треугольничка треугольной сетки равна 3 квадратных сантиметра?
Основная идея при решении этой задачи – это идея разбиения на «удобные» фигуры. То есть такие, которые содержат целое число единичных элементов фигуры (в нашем случае – единичных треугольников), или из которых при сложении можно получить фигуру, состоящую из единичных элементов.
Катя и Саша встретились в точке А. Катя прошла в точку В по красному маршруту, а Саша пробежала в точку В по синему маршруту. На сколько метров маршрут Саши длиннее, если длина отрезка треугольной сетки между соседними узлами равна 200 метров?
При решении этой задачи полезно обсудить: так как нам нужно по сути найти разность периметров геометрических фигур (см. задачу 4), то основная идея решения подобных задач – идея поиска равных отрезков периметра, неудобных для нахождения в ситуации задачи, длины которых при вычитании взаимно уничтожатся.
Во сколько раз площадь красной фигуры больше площади синей?
При решении этой задачи полезно:
1) Ответить на вопрос: сколько синих треугольничков поместится в красную фигуру.
2) Обсудить основную идею при решении данной задачи – идея разрезания фигуры на более простые фигуры, из которых можно сложить фигуру, состоящую из целого числа единичных треугольников.
Клетчатый квадрат n x n разрезали на трехклеточные уголки. При каком наименьшем n это возможно?
Полезно:
1) Начать решение задачи целесообразно с анализа площади: площадь квадратного поля n x n равна n². Каждый трехклеточный уголок занимает площадь 3. Поэтому первый вывод: для того чтобы квадрат можно было разрезать на уголки, необходимо, чтобы n² было кратно 3. Поэтому n=3, 6, 9 и т.д.
2) Далее проверить, возможно ли разрезать на трехклеточные уголки квадрат 3х3. Нет.
3) Обсудить ответ на вопрос: какая наименьшая фигура может быть разрезана на такие уголки? Оказывается, что прямоугольник 2х3.
4) Квадрат со стороной какой длины можно разрезать на прямоугольники 2х3? Квадрат 6х6.