Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.
Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.
*Решение.*
Предположим __.
Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до __.
Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми __-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми __-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга.
Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.
Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к __.
Количество различных вариантов совпадает с числом учащихся. Нужны дополнительные рассуждения, о возможности наступления конретных вариантов одновременно.
В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.
В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.
*Решение.*
Предположим __ и то, что нужно __ не верно.
Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более __ учеников 7"В".
То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это __ условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.
Нужно обратить внимание детей на корректное построение отрицаний в неравенствах.
Не более, не менее. Рассуждение в стиле "ровно распределим по 4 ученика в каждый день недели" нужно избегать
Предположим, что в Африке могут водиться только большие и маленькие звери.
Кирилл построил отрицание утверждения: "НЕКОТОРЫЕ африканские звери большие."
_Вместо слова "все" далее можно указать "В", вместо слова "некоторые" - "Н", "большие" - "б", "маленькие" - "М"._
У него получилось: "__ африканские звери __ ." Заполните пропуски.
Умение составлять противоположное утверждение. Следить за сменой кванторов.
Существование и всеобщности. Умение строить примеры
Предположим, что в Африке могут водиться только большие и маленькие звери.
Кирилл построил отрицание утверждения: "ВСЕ африканские звери большие?"
_Вместо слова "существует" далее можно указать "С", вместо слова "все" - "В", "большие" - "б", "маленькие" - "М"._
У него получилось: "В Африке __ __ зверь."
Оттачивается умение строить противоположные утверждения.
Умение правильно расставлять кванторы всеобщности и существования.
Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?
Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?
Ответ: __.
Предположим __. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ --- углы первого __. Напомним, что $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.
Тогда, например, $\alpha+\beta$ и $\alpha+\gamma$ --- два различных угла второго треугольника.
Но уже их сумма равна $2\alpha+\beta+\gamma>180^\circ$. Что противоречит тому, что сумма двух углов треугольника __ $180^\circ$. Мы пришли к противоречию.
То есть, наше исходное предположение ложно.