Кроличьи числа получаются так. Первое кроличье число равно 0, второе — 1, третье — 10, четвёртое — 101, пятое — 10110, и т. д. Каждое следующее кроличье число получается из предыдущего заменой каждого 0 на 1, а каждой 1 — на 10. А сколько нулей в десятом кроличьем числе?
При решении этой задачи:
Во-первых, надо убедиться, что учащиеся понимают процесс генерации кроличьих чисел. Можно предложить им написать несколько первых чисел вручную, чтобы увидеть закономерности.
Во-вторых, обратить внимание на структуру кроличьих чисел. Можно попросить учащихся проанализировать, как количество нулей и единиц меняется с каждым шагом.
Найдите количество слов длины 7, состоящих только из букв «а» и «б» и не содержащих в записи двух букв «б» подряд.
Сколькими способами можно разрезать прямоугольник $2\times 8$ на домино (прямоугольнички $1\times 2$)? Домино можно поворачивать.
При решении этой задачи:
Можно нарисовать прямоугольник 2×8 и показать, как могут располагаться домино. Это поможет учащимся лучше понять задачу.
Проговорить как можно использовать рекурсивный подход для решения задачи, где каждый раз можно выбирать, как разместить первое домино (вертикально или горизонтально).
Предложить учащимся проверить свои ответы на меньших примерах (например, 2×2 или 2×4) для лучшего понимания.
Попросить учащихся сформулировать рекуррентное соотношение для нахождения количества способов разрезания прямоугольника, что поможет им увидеть взаимосвязь между разными способами отрезания первого домино и размерами оставшихся прямоугольников.
Лягушка находится в первой клетке доски $1\times 10$. Она может прыгать на одну или на две клетки вперёд. Но на шестой клетке находится вкусная муха, которую лягушка хочет съесть — для этого лягушка должна встать на шестую клетку. Сколькими способами лягушка может допрыгать до последней клетки, съев по пути муху?
Полезно:
Убедиться, что учащиеся понимают условия задачи и важность остановки на шестой клетке.
Попросить учащихся смоделировать движение лягушки по клеткам, чтобы визуализировать возможные пути.
Объяснить, как можно использовать рекурсию для подсчета всех возможных путей к последней клетке, учитывая необходимость остановиться на шестой клетке.
Предложить учащимся создать таблицу, где они будут записывать количество способов добраться до каждой клетки, что поможет им увидеть паттерны.
Числа Фибоначчи задаются так. Первое и второе число Фибоначчи равно 1. А каждое следующее число Фибоначчи есть сумма двух предыдущих чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи делятся на 4 тогда и только тогда, когда их номера делятся на… На что?