Петя и Вася по очереди перемещают короля на шахматной доске. За один ход можно переместить его на одну клетку вверх, вправо или по диагонали вверх-вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Какие из перечисленных позиций являются проигрышными? B2, B3, B4, C4, C5, D5, D6, D7.
Петя и Вася по очереди передвигают ладью. за ход её можно переместить на любое количество полей вверх или вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Перечислите, какие из позиций являются проигрышными: С2, С3, С4, D4, D5, D6. G3, G6, G7.
Пусть есть некоторая игра (играют Петя и Вася, делают ходы по очереди, начинает Петя). Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами некоторая позиция, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П). Какие утверждения являются верными? Перечислите пункты без пробелов.
а) Из выигрышной позиции можно попадать только на проигрышные,
б) Из проигрышной позиции можно попадать только на выигрышные,
в) Из выигрышной позиции существует хотя бы один ход на проигрышную,
г) Из выигрышной позиции существует ровно один ход на проигрышную,
д) Из проигрышной позиции существует ровно один ход на выигрышную,
е) Из выигрышных позиций можно попадать только на выигрышные, а из проигрышных - только на проигрышные.
Перед Петей и Васей есть две кучи, по 100 конфет в каждой. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять любое число конфет, но из одной кучи. Прогрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами две кучи из $k$ и $n$ конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).
Позиция (0,0) (когда конфет не осталось ни в одной из кучек, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции $(0,k)$ и $(k,0)$ - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию (0,0)). Позиция (1,1) - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции (0,1) или (1,0)). Позиции $(1,k)$ и $(k,1)$ при $k>1 - __ (из них можно получить позицию (1,1)). Продолжая далее, заметим, что позиции $(n,k) с равными $n$ и $k$ - __, а с неравными $n$ и $k$ - __. Так как (100,100) - позиция с равным количеством конфет в долях, то выиграет __.
Перед Петей и Васей есть куча из 100 конфет. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять от 1 до 5 конфет. Прогрывает тот, кто съест последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?
Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами куча из n конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).
Позиция 1 (когда осталась 1 конфета, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции от 2 до 6 - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию 1). Позиция 7 - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции от 2 до 6). Позиции 8-12 - __ (из них можно получить позицию 7). Продолжая далее, заметим, что позиции, дающие остаток 1 при делении на 6 - __, а дающие все остальные остатки при делении на 6 - __. Так как 100 не даёт остаток 1 при делении на 6, то выиграет __, ему нужно для выигрыша взять __ конфет(-ы или -у).