Петя и Вася выписывают 10-значное число, ставя ненулевые цифры по очереди, начиная с самой правой цифры и далее справа налево. Начинает Петя. Петя выигрывает, если полученное в конце число будет простым. Сможет ли Вася помешать Пете выиграть?
*Способ 1*
До последнего хода Вася может играть как угодно, а последним ходом поставить цифру так, чтобы сумма цифр полученного числа стала делиться на 3 (достаточно выбрать одну из цифр 1,2,3). Значит, полученное 10-значное число будет делиться на 3, и следовательно, не будет простым числом.
*Способ 2*
Васе достаточно повторять за Петей его ходы. В ответ на любую ненулевую цифру Пети Вася сможет записать такую же. В итоге десятизначное число будет делиться на 11, и следовательно, не будет простым числом.
Число вида aabbcc...mm делится на 11, так как сумма цифр на чётных местах совпадает с суммой цифр на нечётных местах. То есть разность этих сумм равна 0, поэтому делится на 11.
Является ли четным число 1111...1112 : 2? (всего в записи первого числа 100 единиц)
Признак делимости на 4. Число дает такой же остаток от деления на 4 как и число, образованное последними двумя цифрами.
Число 10 умножили на себя 2023 раза и прибавили к результату 98. Будет ли полученное в результате число делиться на 9?
Иногда не нужно считать сумму цифр, а достаточно считать остаток.
Число и сумма всех его цифр дает одинаковый остаток при делении на 9
Будем говорить, что число <b>падающее</b>, если каждая его следующая цифра не больше предыдущей. Какое из приведённых чисел не является падающим? 54321, 8643210, 856321, 90, 86420, 97531?
В $2052$ году в марте будет больше воскресений, чем понедельников. На какой день выпадет 1 апреля в том году?